图2 数学概念教学的APOS模式
APOS理论的概念学习的层次性观点为数学概念教学应逐层渐进提供了理论基础，并且具有可操作性．下面，我们基于APOS理论的内涵来设计“数列的概念”的教学．
（一）“操作或活动”阶段：创设情境，实例分析
第一阶段——操作或活动（Action）阶段：通过“操作或活动”使学习者体验并感受数学概念的直观背景与数学概念间的关系；利用直观实例（此阶段的观察材料一般是正例，并且是学生能够理解和分辨的，这样有利于学生观察和分辨出共同属性），从具体到抽象帮助学生形成此数学概念的定义．
在这一阶段，我们理解数列的概念需要进行活动或操作，例如，给出具体的一些数列：通过这种具体的一列列的数字，理解数列．此阶段教学设计如下：
问题1：你知道古代有哪些计数方法吗？（刻道计数、结绳计数等）
问题2：介绍古希腊毕达哥拉斯学派研究过的“三角形数”和“正方形数”，你能说出图3中的正方形点阵分别代表哪些数吗？你能继续指出第5个、第6个正方形数吗？
图3
问题3：如图4，一般树木有如下的生长规律：第一年生出幼茎，第二年幼茎长成粗干，第三年粗干分枝生出幼茎······这样以此类推，幼茎都需要一年时间长成为粗干，而且成长为粗干后才可分枝长出幼茎．按照这个规律，从第一年起，这棵小树每年的树枝数目分别是多少？
图4
问题4：我们每个人都有自己的幸运数字，请第一排的同学依次报出自己的幸运数字．你能否再举出一些类似的例子？
（二）“过程”阶段：讨论归纳，形成概念
第二阶段——过程（process）阶段：学习者经过对“操作活动”进行思考，经过思维的内化过程，在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出数学概念的特有的共同本质属性（此时可以用一些反例或者变式来突出其本质属性）．
在这一阶段，我们通过描述反思，抽象出数列的本质属性：把一些数按照一定的顺序排列起来就是一个数列．此阶段教学设计如下：
师：请同学们观察上面的这些例子，他们有什么共同特点？
生：它们都是一列数．
师：这一列一列的数有什么共同特点？
生：它们都是有一定次序的一列数．
数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．
数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常也叫做首相），排在第二位的数称为这个数列的第二项……排在第位的数称为这个数列的第项．你能举例说明吗？
思考：将数列改为请问它们是不是同一数列？为什么？
不是，因为数列具有有序性．
（三）“对象”阶段：认识概念，解剖概念
第三阶段——对象（object）阶段：当个体能把概念的形成“过程”作为一个整体进行操作和转换的时候，这一过程就变成了个体的一种相对独立的心理“对象”，表现为个体通过前面的抽象，认识到了概念的本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中能够以此为对象进行新的活动．概念进入“对象”状态时，便呈现为一种静态结构关系，成为一个“实体”，易于整体把握性质，这时一个完整的理解才真正成型．“对象”在某一个层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用：既是概括的结果，又是新的概括的起点．
在这一阶段，我们可以把数列过程上升为一个独立的对象来处理．此阶段教学设计如下：
数列的一般形式可以写成，简记为．
思考：在表示集合时，我们也用到了“”，那么集合和数列有什么异同点，你能否从集合元素的性质和数列项的性质来说明？
问题5：观察数列2，4，8，16，…，256，…中项与序号之间的对应关系，
序号 1 2 3 4 5
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
项 2 4 8 16 32
你能联想到哪些相关内容？
数列的序号和项之间存在某种对应关系，如果序号看做自变量，那么项就是函数值，因此数列是一类特殊的函数．
问题6：作为一类函数，你能说说数列中的相关概念和性质吗？
数列可以看成以正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
问题7：数列是以正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，那么数列的项数有什么特征？你能否根据这对数列进行分类？
有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列．
无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列．
问题8：一般函数有解析式，那么数列也有解析式吗？
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
例1 根据下列数列的通项公式，写出前5项：
（1）；（2）．
点评：由通项公式定义可知，只要将通项公式中的依次取值1,2,3,4,5，即可得到数列的前5项．
例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1），，，；
（2），，，；
（3），，，．
点评：根据数列的前几项写出数列的通项公式，关键是要找出这列数呈现出的规律，即数列的第项与序号之间的关系，然后通过归纳写出这个数列的通项公式．
（四）“图式”阶段：数列与函数
第四阶段——图式（schema）阶段：此阶段的形成需要经过长期的数学学习活动来完善，起初的概型包含反映数学概念的特例、抽象过程、定义及符号表示．经过学习建构期与其他数学概念、规则和图形的联系，在头脑中形成关于该数学概念的综合心理图式．
此时的数列概念，以一种综合的心理图式存在于脑海中，在数学知识体系中占有特定的地位．这一心理图式含有具体的数列实例、抽象的过程、完善的定义，乃至和其他概念（集合、函数等）的区别和联系．此阶段教学设计如下：
问题9：通过前面的探究，我们知道数列是一类特殊的函数，而函数可以用解析式、图象法、列表法来表示，那么数列是否也能用图象法和列表法来表示？
与函数一样，数列也可以用列表法、图象法等方法来表示．请完成下表：
请根据上表画出数列的图像．
思考：①这个数列的图象分别和什么函数的图象有关？有什么样的关系？
该数列的图象和函数的图像有关，该数列的图象是函数的图象上的一群孤立的点．
②通过这个实例，你能否得出数列的图象的特点？
数列的图象是一群孤立的点，而且点都位于轴的右侧．数列的本质是离散的函数．
问题10：数列是一类特殊的函数，而函数有单调性，那么数列的单调性是怎样的？
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．
思考：数列的单调性和函数的单调性是否相同？
有些数列的单调性和对应的函数的单调性相同，例如数列和函数的单调性相同；但是有些数列的单调性和对应函数的单调性不同，例如数列是递增数列，但函数在区间上不具有单调性．
问题11：根据前面的讨论，你能否列表比较数列和函数？
学生讨论后得到数列和函数的对比表：
| 函数 | 数列(特殊的函数) |
定义域 | 或的子集 | 或它的有限子集{1，2，…，n} |
解析式 |
图象 | 点的集合 | 一些离散的点的集合 |
问题12：通过本节课的学习，你有哪些收获？请你从知识、方法、思想等方面和大家分享本节课的收获．
数列是反应自然规律的一种数学模型，花瓣的数目、松果种子的排列等都可以用数列来表示，我们把这个数列叫做斐波那契数列，请大家课后查阅并收集斐波那契数列的相关知识；数列也在我们探索自然宇宙中起到重要的作用，请大家课后查阅提丢斯数列
．
二、评析与思考
1．“数列的概念”教学效果分析．
在数列的概念的建构过程中，经过每一个阶段，学生对数列的理解就会更进一步．操作或活动（Action）阶段，学生通过具体实例理解数列的意义，初步感受什么是数列，并能举一些数列的例子．过程（process）阶段，学生在教师的引导下得出数列的本质属性——有一定次序的一列数，并得出数列的定义．对象（object）阶段，学生通过比较数列和集合，进一步理解数列；通过探究数列的项和序号之间的关系，发现数列是一类特殊的函数，并能根据数列项数的多少对数列进行分类；知道数列可以用通项公式表示，并会根据数列通项公式写出数列的项，写出已知前几项的数列的通项公式等简单的数列应用；图式（schema）阶段，学生进一步了解数列的其他表示法——列表法和图象法，通过亲手画数列与对应函数的图象，发现两者图像的区别与联系，知道数列本质就是一类离散函数；探究发现数列的单调性和函数的单调性的不同，并能把数列和函数做一个对比等．当然，数列概念的建构不是这一堂课就可以完成的．通过这堂课的学习，学生初步掌握数列的概念并能进行简单的应用，再通过后续的等差数列和等比数列的学习，在头脑中逐渐形成关于数列的综合心理图式，从而建构起数列的概念，可见APOS理论能有效地促进数列概念的教学．
2．APOS理论的四个阶段是相对连续的过程．
APOS理论的四个阶段是学习者建构数学概念的必经过程，并且它们是相对连续的过程．在概念的建构期间内，任何一个阶段都是不可或缺的，缺少其中任何一个阶段，学生对该数学概念的理解就存在一定的问题．当然，APOS 理论的四个阶段并非一定要体现在一堂数学课当中，也不是每一课都必须经历四个阶段，APOS理论适用于数学概念在学生头脑中建构的一段时期，并不局限于某一堂课．作为一名老师，我们应该理解学生的实际情况，作为数学的学习过程，也是允许学生存在折返的现象．
3．数学概念的建立需要反复，不能一蹴而就．
杜宾斯基认为，活动、过程、对象也可以看作是数学知识的三种状态，而图式则是由这三种知识构成的一种认知结构．虽然这四者具有等级结构，也就是说，一般情况下前一成分的建构是后一成分的基础，但实际上个体对某一数学概念的理解并不只是线性的，而是循环的．例如，数列的概念，学习者一开始的“活动”是把数列看作一列一列具体的数；随后，数列被看作是按照一定顺序排列的一列数，于是得到了初步的“程序”．但是，当学生遇到更为复杂的数列或研究数列的性质时，往往又回到了“活动”阶段，并在“活动”的基础上，又进一步完善了数列“程序”，例如，在比较数列和函数的单调性时，又用具体的数列进行探究．如此经过多个循环之后，学生才最终形成明确而完整的数列“对象”．
因此，教师在教学过程中要整体处理教材，把握教学的度，结合具体的问题有意识地在各个阶段的学习过程中，帮助学生逐步形成概念完整的知识链．在往后的教学中要注意学生对知识的图式的建立，即加强知识间的联系和应用．如在讲解具体的等差数列、等比数列时，可以以具体数列为载体，在一般数列概念的指导下对其性质进行研究，体现了“具体──抽象──具体”的过程，是数列概念理解的深化．
总之，在数学概念教学中要注意到学生对数学对象的建构需要经过多次反复，是一个循序渐进，螺旋上升的过程，切忌急于求成．运用APOS理论，可以帮助学生一步一步克服各种认知障碍，使学生真正理解并掌握数学概念的本质，建构起完整稳定的数学概念的心理图式．
参考文献：
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